Article:

TdC: Qui vol guanyar un milió de dolars? - Berenguer Sabadell

17-06-2023 Anna Larroy

Berenguer Sabadell i Noguera és matemàtic per la UB amb l’especialitat de matemàtica aplicada i anàlisi.
Escola Politècnica Superior UdG
Xerrada dedicada a la memòria de Toni Raïch

Per començar la darrera tarda de ciència de la temporada en Berenguer Sabadell ens explica el perquè d’aquest títol. El milió de dòlars es refereix al premi que pot guanyar el matemàtic que resolgui un dels problemes del mil·lenni.
Els problemes del mil·lenni són set problemes de matemàtiques que van ser enunciats pel Clay Mathematics Institute l'any 2000. Els problemes són els següents:

- P versus NP
- La hipòtesi de Riemann
- La conjectura de Hodge
- La conjectura de Poincaré
- Teoria quàntica de Yang-Mills
- Equacions de Navier-Stokes
- La conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer

La resolució de qualsevol d'aquests problemes comporta un premi d'un milió de dòlars.
Actualment, l'únic Problema del Mil·lenni que ha estat resolt és la conjectura de Poincaré, que va ser resolta pel matemàtic rus Grigoriu Perelman l'any 2003, que va refusar el premi.

Un cop aclarit això Berenguer Sabadell ens diu que avui ens parlarà de la hipòtesi de Riemann i comença explicant què diu aquesta hipòtesi.

Per fer-nos una pinzellada de forma entenedora d’aquesta hipòtesi comença parlant-nos dels nombres primers.
Per què són tant importants? Els nombres primers són com els àtoms de l’aritmètica i ens compara la taula periòdica dels elements amb una taula de nombres primers. De la mateixa manera que un compost es forma a partir dels elements de la taula, qualsevol nombre compost es forma multiplicant els nombres primers de la llista. Amb dues “millores”, que podem multiplicar dos o més nombres primers qualsevol per obtenir un compost, cosa que no passa amb els elements i que la taula de nombres primers és infinita.

A continuació ens explica la demostració d’ Euclides que diu que el conjunt dels nombres primers és infinit i ens mostra una imatge de L’os d’Ishango que es creu que és la primera representació de nombres primers.

Però quines qüestions ens interessen relatives als nombres primers?
- Donat un nombre, és primer o compost?
- Donat un nombre N, quants primers hi ha per sota?
- Quin és el primer que ocupa una posició determinada a la llista de nombres primers?

Agafem la segona d’aquestes qüestions. El primer matemàtic que es va dedicar a intentar trobar un patró per a obtenir nombres primers va ser Leonhard Euler, i va acabar dient que trobar un ordre en aquesta successió és un misteri on la ment humana no hi podrà penetrar mai. Tot i això Euler va posar la primera pedra per poder entendre la hipòtesi de Riemann.
Com estan distribuïts els nombres primers? Podem representar una funció que ens compta el nombre de primers que hi ha entre els consecutius nombres naturals. A començament del S XIX el primer que va publicar el valor d’aquesta funció, va ser el matemàtic i astrònom Adrien–Marie Legendre i s’acostava molt a la funció que compta els nombres primers. En aquesta mateixa època Carl Gauss, amb la seva genialitat va trobar una altra funció que encara era millor.

Õ(x) » x / log(x)

I arribem a Georg Friedrich Riemann. A Riemann li ofereixen una càtedra a la universitat de Berlin i li demanen que escrigui un tema de recerca en el que estigui investigant i escriu una memòria molt famosa titulada "Sobre la quantitat de nombres primers per sota d’un nombre donat". En aquesta memòria afirma, que ha trobat una fórmula exacta per a la funció que compta els nombres primers, la funció Õ(x) , i troba que està formada per dos termes, un de principal i un de corrector.
Aquests termes correctors són nombres complexos i ell afirma que la part real d’aquests ha de ser 1/2, però no és capaç de demostrar-ho.
Per tant si voleu guanyar un milió de dòlars demostreu que la funció de Riemann val zero sols si la part real de s és 1/2.

Varen haver de passar 45 anys per tal que David Hilbert reprengues aquest problema, començant a entendre els treballs de Riemann. Alan Touring va començar a pensar les seves màquines per intentar demostrar la hipòtesi de Riemann, que en la seva època no tots creien que fos certa.

Actualment els matemàtics estan força convençuts de que la hipòtesi de Riemann és certa.

Per acabar, tornem a la pregunta: Per què són tan importants els nombres primers? Com podem assegurar que les transaccions per internet són segures? Tres matemàtics del MIT van idear el sistema criptogràfic de clau pública RSA que es basa en els nombres primers. La clau és un nombre compost de 400 dígits que és producte de dos primers de 200 dígits que sols té el receptor del missatge. De nombres primers de 200 dígits en hi ha 1,9 * 10¹⁹⁸ per tant si un hacker vol esbrinar quin és el que correspon a la meva transacció, amb els ordinadors actuals trigaria entre 5 i 10 anys, per això les targetes caduquen cada 5 anys.

Un tema complex i molt interessant, molt ben explicat, que ha apropat al públic a un dels problemes més difícils de la matemàtica.

[Enllaç1]